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Cenni storici

Benché alcuni studi sulle relazioni tra gli angoli e i lati dei triangoli siano riportati in antiche opere egiziane e babilonesi, deve essere riconosciuto prevalentemente ai greci il merito di aver fondato la trigonometria. Nel II secolo a.C. l’astronomo Ipparco compilò una tavola trigonometrica, che si rivelò in seguito del tutto simile a una moderna tavola dei seni: data una circonferenza di raggio fisso r, essa forniva infatti la lunghezza della corda sottesa da tutti gli angoli minori di 180° e multipli di un determinato valore. Non si conosce con certezza il valore che Ipparco scelse per il raggio r, ma il criterio utilizzato per determinare la misura delle corde venne successivamente ripreso da Tolomeo ed è esposto nel celebre trattato astronomico Almagesto.

Nella stessa opera, Tolomeo propose una tavola per la misura delle corde sottese da angoli multipli di 1° e compresi tra 0° e 180°, e fornì diversi esempi di consultazione della tabella, mostrando come fosse possibile trovare tutti gli elementi non noti di un triangolo a partire da diverse combinazioni di elementi noti; inoltre enunciò il teorema per la soluzione dei triangoli sferici, oggi noto come teorema di Menelao, ed espose concetti di trigonometria che per molti secoli rappresentarono la base imprescindibile di ogni studio astronomico.

Più o meno nello stesso periodo, gli astronomi indiani svilupparono un sistema trigonometrico diverso, basato non sulla corda, ma su una funzione seno, definita non propriamente come quella attualmente in uso, bensì come la lunghezza del lato opposto all’angolo, in un triangolo rettangolo di ipotenusa fissata.

Verso la fine dell’VIII secolo gli astronomi islamici, avvalendosi dei risultati di greci e indiani, perfezionarono le tavole basate sulla funzione seno, e svilupparono una trigonometria fondata più sull’uso dell’aritmetica e dell’algebra che sulle nozioni di geometria. Negli ultimi anni del X secolo, essi scoprirono diversi teoremi fondamentali della trigonometria piana e sferica e sostituirono il valore r = 1 a quello di derivazione babilonese r = 60, anticipando con questa innovazione le moderne definizioni delle funzioni trigonometriche. Oltre che in campo astronomico, i risultati ottenuti trovarono svariate applicazioni pratiche: famoso, ad esempio, è l’uso della trigonometria per individuare la direzione della Mecca, a cui rivolgere le preghiere giornaliere prescritte dalla religione islamica.

Gli scienziati islamici compilarono tavole particolarmente precise, tra le quali sono degne di nota quelle per il seno e la tangente, costruite per multipli di 1/60 di grado, e accurate fino a una parte su 700 milioni. Questi progressi, benché derivanti da una linea di studio già inaugurata dai greci, portarono alla prima formulazione sistematica della trigonometria: il celebre Trattato sul quadrilatero, opera dell’astronomo Nasir ad-Din at-Tusi, si può infatti considerare il primo trattato di trigonometria piana e sferica concepita come disciplina matematica indipendente.

L’Occidente latino conobbe la trigonometria islamica solo a partire dal XII secolo, grazie alle traduzioni dei manuali astronomici arabi. Non furono tuttavia compiuti passi significativi fino al XIII secolo, quando Georges Joachim, detto Retico, modificò la definizione delle funzioni trigonometriche attribuendo loro il moderno significato di rapporti, anziché quello di lunghezze di segmenti. Il primo lavoro di rilievo sul tema fu scritto, nel XV secolo, dall’astronomo e matematico tedesco Giovanni Regiomontano. Nel XVI secolo François Viète introdusse le coordinate polari in trigonometria sferica, stabilì le formule per la determinazione di sen(nq) e cos(nq) in funzione delle potenze di sen(q) e cos(q) e introdusse le relazioni per la risoluzione dei triangoli piani.

All’inizio del XVII secolo i calcoli trigonometrici vennero notevolmente semplificati grazie all’introduzione dei logaritmi per merito del matematico scozzese John Napier. Egli trovò inoltre alcune leggi mnemoniche da applicare alla soluzione dei triangoli sferici, e alcune proporzioni (dette analogie di Nepero) per la soluzione dei triangoli sferici obliqui.

Circa mezzo secolo dopo la pubblicazione dei risultati di Napier, Isaac Newton introdusse il calcolo infinitesimale differenziale e integrale, che fornì la possibilità di rappresentare le funzioni come serie di potenze della variabile indipendente. Newton stesso determinò l’espansione in serie di potenze delle funzioni trigonometriche sen(x), cos(x) e tg(x), e inaugurò in questo modo lo studio analitico delle funzioni trigonometriche, il cui ruolo nella matematica pura e applicata è tuttora di importanza fondamentale.

Infine, nel corso del XVIII secolo, il matematico svizzero Eulero stabilì una relazione fra le funzioni trigonometriche e i numeri complessi. Questo processo trasformò la trigonometria in una delle innumerevoli applicazioni della teoria dei numeri complessi, e le sue leggi fondamentali poterono dunque venire interpretate come conseguenze di semplici operazioni aritmetiche fra questi numeri.