3.

Trigonometria piana

Lo scopo della trigonometria piana è quello di stabilire delle relazioni fra i lati e gli angoli di un triangolo generico, al fine di poter risolvere il seguente problema: noti tre elementi del triangolo, tra i quali sia compreso almeno un angolo, determinare la misura dei lati e degli angoli non noti. Prima di illustrare i principali contenuti della trigonometria piana, è tuttavia opportuno definire il concetto di angolo trigonometrico e introdurre le cosiddette funzioni goniometriche fondamentali.

1.

Angolo trigonometrico

È detto trigonometrico l’angolo generato dalla rotazione di un raggio vettore intorno a un punto fisso. Osserviamo le figure 1A, 1B e 1C: l’angolo è determinato dalla rotazione del raggio OB, inizialmente coincidente con OA, intorno al punto fisso O. Per convenzione, un angolo e la sua ampiezza vengono considerati con il segno positivo se sono generati da una rotazione in senso antiorario, e con il segno negativo se sono generati da una rotazione in senso opposto; di conseguenza, affinché due angoli trigonometrici siano uguali, è necessario che le rotazioni da cui sono stati generati siano concordi nella direzione e abbiano uguale ampiezza.

L’ampiezza di un angolo si misura in relazione alla lunghezza dell’arco che i suoi lati “staccano” sulla circonferenza che ha il centro nel vertice dell’angolo stesso. In figura 2 l’arco è rappresentato con s.

L’unità di misura convenzionalmente adottata per gli angoli è il grado sessagesimale, indicato con il simbolo ° e definito come l’ampiezza dell’angolo che sottende un arco di lunghezza pari a 1/360 della lunghezza della circonferenza. Se l’arco s sotteso dall’angolo è pari alla quarta parte di una circonferenza C, ovvero se risulta s = ‚C, OA risulta perpendicolare a OB, e l’angolo misura 90° (angolo retto); se invece s = yC, i punti A, O e B sono allineati e l’angolo misura 180° (angolo piatto). Quando risulta s = C/2p, ovvero quando l’arco sotteso ha la stessa lunghezza del raggio della circonferenza, l’ampiezza dell’angolo assume un valore particolare, detto radiante. La relazione che permette di esprimere in gradi una misura in radianti, e viceversa, può essere determinata facilmente se si tiene conto che

1 angolo piatto = 2 angoli retti = 180° = p radianti

da cui

1 rad = 180°/p

e analogamente

1° = p/180.

Per convenzione, un angolo trigonometrico generico si indica con la lettera dell’alfabeto greco θ. Se l’ampiezza di θ è espressa in radianti, la lunghezza dell’arco sotteso s è fornita in modo immediato dalla formula s = rθ; se essa è in gradi, bisogna ricorrere alla relazione di trasformazione definita sopra e si ha

2.

Funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche stabiliscono una particolare relazione tra i numeri reali e i possibili valori dell’ampiezza di un angolo.

In un sistema di riferimento cartesiano (vedi Geometria analitica), consideriamo un punto P avente coordinate x e y e appartenente alla semiretta uscente dall’origine e inclinata di un angolo generico θ rispetto al semiasse positivo delle x. L’ascissa e l’ordinata di P possono essere positive o negative a seconda del quadrante (I, II, III o IV) cui appartiene P; la distanza di P dall’origine degli assi, che indichiamo con r, è invece necessariamente positiva e, note le coordinate di P, può essere calcolata in modo immediato applicando il teorema di Pitagora: r² = (x² + y²).

Le sei funzioni trigonometriche più comuni sono definite come segue:

Dal momento che le due coordinate x e y non variano se si considerano angoli che differiscono tra loro di multipli interi di 2p radianti, ovvero di 360°, è chiaro che, ad esempio, sen (θ + 2p) = sen θ, e che ciò vale anche per le altre cinque funzioni. Per definizione, tre di queste funzioni sono il reciproco delle altre tre, ovvero:

Se il punto P appartiene all’asse delle y, risulta x = 0; di conseguenza, non sono definite la tangente e la secante di 90°, 270°, e in generale di angoli che differiscono da questi per multipli interi di 2p. Analogamente, quando P appartiene all’asse delle x, risulta y = 0, e dunque non sono definite la cotangente e la cosecante di angoli quali 0°, 180° e -180°. Osserviamo, inoltre, che essendo r sempre maggiore o uguale a ciascuna delle due coordinate x e y, i valori di senθ e cosθ variano tra -1 e +1; ciò implica anche che secθ e cosecθ assumono tutti i valori reali esterni all’intervallo (-1, 1), cioè tutti i valori maggiori o uguali a 1 e minori o uguali a -1. Le funzioni tgθ e cotgθ invece sono illimitate, ovvero possono assumere qualunque valore reale.

3.

Risoluzione del triangolo rettangolo

Supponiamo ora che θ sia uno degli angoli acuti di un triangolo rettangolo, come mostrato in figura 4, avente il vertice A posto nell’origine degli assi di figura 3, il lato AC lungo il semiasse positivo delle x e il vertice B coincidente con il punto P, in modo che risulti AB = AP = r. Allora, applicando le definizioni viste prima, si ottengono le relazioni senθ = y/r = a/c; in generale vale:

Queste relazioni permettono di “risolvere” ogni triangolo rettangolo, ovvero di calcolare la lunghezza di tutti i lati e l’ampiezza di tutti gli angoli, purché sia nota la misura di un angolo e di un lato. I valori numerici delle funzioni trigonometriche sono riportati in apposite tavole, tuttavia essi possono essere determinati approssimativamente anche per via grafica: è sufficiente disegnare l’angolo in posizione standard usando un righello, un compasso e un goniometro, misurare x, y, ed r, e infine calcolare i rapporti desiderati. In realtà poi, sfruttando le identità trigonometriche (vedi sotto), è sufficiente determinare il valore di senθ e di cosθ per calcolare il valore di tutte le funzioni trigonometriche di θ e degli angoli a esso associati.

Per alcuni angoli particolari, i valori numerici delle funzioni trigonometriche sono facilmente determinabili in base a considerazioni geometriche. Ad esempio, in un triangolo rettangolo isoscele sappiamo che θ = 45° e che b = a; sappiamo inoltre, per il teorema di Pitagora, che c² = b² + a², da cui si può dedurre che c² = 2a² o c = aÃ. Possiamo perciò affermare che:

4.

Identità trigonometriche

Le identità trigonometriche esprimono le relazioni che sussistono tra le funzioni trigonometriche, e valgono per qualsiasi valore degli angoli θ e φ:

Le formule del gruppo V, note come formule di riduzione, permettono di esprimere sen θ e cosθ in termini del seno e del coseno di angoli compresi tra 0° e 90°. Con le formule dei gruppi I e II, invece, è possibile determinare tgθ, cotgθ, secθ, e cosecθ a partire dal valore di senθ e cosθ. Dunque, per conoscere il valore di tutte le funzioni trigonometriche in corrispondenza di un qualsiasi angolo θ, è sufficiente tabulare i valori di senθ e cosθ per gli angoli appartenenti al primo quadrante, e cioè per tutti i valori dell’angolo θ compresi tra 0° e 90°. Comunque, per maggior semplicità, nelle tavole vengono forniti anche i valori delle altre funzioni trigonometriche, sempre nel medesimo intervallo compreso fra 0° e 90°.

Dall’osservazione del grafico delle funzioni trigonometriche (rappresentate nelle figure di questo articolo) si vede immediatamente che esse sono periodiche nell’angolo, vale a dire assumono ciclicamente gli stessi valori, a intervalli costanti che sono detti periodi. Per tutte le funzioni trigonometriche, il periodo è di 360°, o 2p radianti; costituiscono un’eccezione la tangente e la cotangente che hanno periodo di 180°, o p radianti.

5.

Risoluzione dei triangoli generici

Le applicazioni pratiche della trigonometria consistono spesso nel calcolo di lunghezze per le quali non sono possibili misure dirette. Questo problema può essere risolto facendo corrispondere la lunghezza incognita con uno dei lati di un triangolo, di cui si conoscano gli altri due lati e un angolo, per utilizzare in seguito le formule riportate qui sotto.

Detti A, B, C i tre angoli di un triangolo e a, b, c i lati rispettivamente opposti, si può dimostrare che valgono le relazioni

I teoremi del coseno e delle tangenti possono essere enunciati in due forme equivalenti, permutando, ossia facendo scorrere ordinatamente, le lettere a, b, c e A, B, C .

Questi tre teoremi possono essere applicati per determinare tutti gli elementi di un qualunque triangolo quando siano noti, alternativamente: un lato e due angoli; due lati e l’angolo compreso; due lati e l’angolo opposto a uno di essi; o, infine, tutti e tre i lati. Nel caso particolare di un triangolo rettangolo, il discorso viene semplificato dal fatto che un angolo ha sempre ampiezza nota, pari a 90° (o p/2 radianti), cosicché è sufficiente conoscere un lato e un angolo, o equivalentemente due lati, per determinare tutti gli elementi del triangolo.