3.

Operazioni tra numeri complessi

In un numero complesso a + ib, a è detta parte reale e b parte immaginaria; così nel numero complesso -2 + 3i la parte reale è data da -2, quella immaginaria da 3. La somma tra numeri complessi si esegue sommando separatamente parti reali e parti immaginarie; ad esempio, per calcolare (1 + 4i) + (2 - 2i), bisogna dapprima sommare le parti reali 1 e 2, poi quelle immaginarie 4 e -2 e infine si ottiene il numero complesso 3 + 2i. La regola generale per l'addizione può essere scritta: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

La moltiplicazione tra numeri complessi si basa sulla proprietà fondamentale per cui i · i = -1 e sulla proprietà distributiva della moltiplicazione sull'addizione. Quindi si ha che (a + bi) · (c + di)=(ac - bd) + (ad + bc)i, da cui segue ad esempio che (1 + 4i)(2 - 2i) = 10 + 6i. Se z = a + bi è un numero complesso qualunque, si dice complesso coniugato di z il numero che si ottiene invertendo il segno della parte immaginaria, vale a dire z^* = a - bi, e valore assoluto, o modulo di z, l'espressione |z| = √(a² + b²). Ad esempio, il complesso coniugato di 1+4i è 1 - 4i e il suo modulo è √(1² + 4²) = √17. Dato un numero complesso il valore assoluto può essere calcolato mediante la relazione z · z^* = |z|².