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Diagramma di Argand

Così come l’insieme di tutti i numeri reali può essere visto come l’insieme di tutti i punti di una retta orientata, i numeri complessi si possono pensare come i punti di un piano, rappresentando la parte reale e quella immaginaria sugli assi di un sistema di riferimento ortogonale. Il numero a + bi è così identificato come il punto del piano di coordinata x pari ad a e coordinata y pari a b. I numeri complessi 1 + 4i e 2 - 2i corrispondono ai punti (1,4) e (2,-2) di tale piano. Questa rappresentazione geometrica, che si rivela particolarmente utile sul piano pratico, fu ideata da Jean-Robert Argand intorno al 1806; il piano di rappresentazione prende perciò il nome di diagramma di Argand. Se si rappresenta un numero complesso come un vettore avente il punto di applicazione nell'origine degli assi e l'estremità sul punto corrispondente del diagramma di Argand, la somma di numeri complessi si riduce a una somma vettoriale. L'illustrazione Somma di due numeri complessi mostra il numero 3 + 2i ottenuto come somma dei vettori 1 + 4i e 2 - 2i.

Dal momento che i punti del piano possono essere individuati univocamente anche per mezzo delle due coordinate polari r e θ, ogni numero complesso z si può scrivere nella forma z = r(cosθ + isinθ), dove r è il modulo del numero complesso o, in notazione vettoriale, la distanza del punto dall'origine, e θ è l'argomento di z e rappresenta l'angolo formato da z con l'asse delle x. Se z = r(cosθ + isinθ) e w = s(cosΦ + isenΦ) sono due numeri complessi scritti in forma polare, il loro prodotto è dato da zw = rs(cos(θ + Φ) + isin(θ + Φ)). La semplice interpretazione di questo fatto è mostrata nell'illustrazione Prodotto di due numeri complessi.