1.

Introduzione

Aritmetica Ramo della matematica elementare, che ha per oggetto lo studio delle operazioni tra numeri e delle loro proprietà. Letteralmente significa “arte del contare” e deriva dal greco arithmetike, che fonde i due concetti di arithmos, “numero”, e techne, “arte” o “abilità”.

2.

Cenni storici

L’aritmetica nacque in epoca remota quando, stabilita una nozione intuitiva di numero, risposta all’esigenza pratica di contare, scaturì la necessità di creare un sistema di simboli e di vocaboli con i quali esprimere i numeri stessi ed eseguire con essi semplici operazioni.

I numeri possono essere espressi in vari sistemi di numerazione; diversi sono quelli elaborati dalle civiltà fiorite nel corso della storia: quello a noi comune, il sistema in base 10, o decimale, era già in uso presso gli egizi, ed è oggi diffuso in tutte le culture moderne.

I pitagorici iniziarono uno studio teorico sistematico dei numeri, distinguendo fra pari e dispari e definendo i numeri primi e quelli composti; inoltre introdussero le proporzioni, che vennero successivamente organizzate in una vera teoria, estesa anche alle grandezze incommensurabili, da Eudosso di Cnido.

Fu poi Euclide a dedicare due libri dei suoi Elementi all’aritmetica, e sviluppi successivi vennero in seguito da Archimede e da Eratostene, famoso anche per aver inventato un metodo (chiamato “il crivello”) per determinare i numeri primi più piccoli di un determinato valore assegnato.

Al matematico Nicomaco da Gerasa, vissuto fra il I e il II secolo d.C., si deve la prima opera concepita per tramandare i principi dell’aritmetica greca attraverso i secoli, Introductio arithmeticae.

L’aritmetica divenne oggetto di studio in Europa solo nel XIII secolo, con Leonardo Pisano, che sistematizzò i sistemi di numerazione; fu ulteriormente sviluppata nei secoli successvi, fino a raggiungere il livello di più vasto interesse nel XVII secolo con John Napier, inventore dei logaritmi, con Blaise Pascal e con Pierre de Fermat, che collaborarono per fondare il calcolo delle probabilità e l’aritmetica superiore, che in epoca moderna darà origine alla teoria dei numeri.

3.

I settori di studio dell’aritmetica

Si possono riconoscere diverse aritmetiche, secondo il settore della matematica che tali discipline approfondiscono.

L’aritmetica elementare è quella più comune, che studia le quattro operazioni – addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione – nell’insieme dei numeri reali, costituito dagli interi positivi e negativi e dai numeri razionali (frazioni) e irrazionali.

L’aritmetica elementare stabilisce le regole per eseguire le quattro operazioni e per calcolare la scomposizione in fattori primi di un numero, passando necessariamente per la definizione di numero primo e dei procedimenti per stabilire la divisibilità di un numero.

Dalla definizione di frazione discende la necessità di stabilire il significato di proporzione fra numeri, che pure rientra nel campo di studio dell’aritmetica elementare, come anche l’elevazione a potenza e la sua operazione inversa, la ricerca della radice n–esima. La ricerca dell’esponente che, apposto a un determinato numero, fornisca come risultato un valore assegnato è la definizione di logaritmo, un altro argomento che rientra nell’aritmetica elementare.

Lo studio degli assiomi indipendenti necessari a costruire un’aritmetica elementare è stato risolto per la prima volta da Giuseppe Peano che, con la definizione dei suoi assiomi, ha fondato quel settore di ricerca che si definisce oggi aritmetica razionale.

La teoria dei numeri costituisce lo sviluppo dell’aritmetica elementare, talvolta anche indicato come aritmetica superiore. Quando l’aritmetica tratta di funzioni numeriche che dipendono da una variabile n, la quale può assumere valori crescenti fino a ∞, allora viene classificata come aritmetica asintotica.

Esiste poi un ampio settore di calcolo, utilizzato nell’attività finanziaria e commerciale, composto da operazioni specifiche, che esula dal contesto qui trattato, e va sotto il nome di aritmetica commerciale e finanziaria.