1.

Introduzione

Sistema di coordinate Sistema per individuare univocamente la posizione di un punto dello spazio, assegnandogli una coppia o una terna di numeri che prendono il nome di coordinate. Il sistema di latitudine e longitudine è un esempio di sistema a due coordinate per l'individuazione della posizione di un punto sulla superficie della Terra.

2.

Coordinate cartesiane

Il sistema di coordinate cartesiane è il più usato in assoluto. In due dimensioni, esso consiste di un piano in cui giacciono due rette perpendicolari, l'asse orizzontale, o asse x, e l'asse verticale, o asse y, che si intersecano in un punto chiamato origine. La posizione di un punto nel piano può allora essere specificata con una coppia di numeri che indicano rispettivamente la distanza dall'asse verticale, detta ascissa, e quella dall'asse orizzontale, detta ordinata; così il punto di coordinate (2, 3) dista di due unità dall'asse delle y e di tre unità dall'asse delle x, come mostrato in figura 1.

Per rappresentare i punti nello spazio tridimensionale è necessario introdurre un terzo asse, l'asse z, perpendicolare al piano individuato dagli assi x e y, e passante per l'origine del sistema di riferimento. Per localizzare un aeroplano, ad esempio, se ne assegnano le coordinate lungo le direzioni est-ovest (asse x) e nord-sud (asse y) rispetto a qualche punto di riferimento posto a terra, e se ne specifica l'altitudine sul livello del mare (asse z). Questo sistema di riferimento può essere applicato però solo ad aree limitate, finché la curvatura della Terra risulta trascurabile.

3.

Coordinate polari

Nel sistema di coordinate polari piane, a ogni punto del piano è assegnata una coppia di coordinate (r, θ) che ne individua la posizione rispetto a una retta fissa, detta asse polare, e a un punto appartenente a essa, detto polo. La coordinata r rappresenta la distanza del punto dal polo, e la coordinata θ è l'angolo formato dall'asse polare con la congiungente il punto con il polo, valutato spostandosi in senso antiorario, come in figura 2. Ad esempio, il punto di coordinate polari (1, ) si trova a un'unità dal polo e forma un angolo di radianti, o di 90 gradi, con l'asse polare. Sempre su aree limitate, il sistema di coordinate polari può essere utile per localizzare i punti della superficie terrestre. In navigazione, o per scopi militari, è piuttosto comune assegnare la posizione di un punto con espressioni come, 'a 5 km di distanza in direzione di 65°' In questo caso il polo è rappresentato dalla posizione dell'osservatore, l'asse polare è la congiungente l'osservatore con il Nord, e l'angolo è misurato in senso orario a partire dall'asse.

4.

Coordinate sferiche e cilindriche

Le coordinate sferiche e quelle cilindriche sono due estensioni delle coordinate polari nello spazio a tre dimensioni. Un esempio di uso comune delle coordinate cilindriche su un'area limitata è l'identificazione di una cima che si trova a 5 km di distanza, in direzione di 65° e a un'altezza di 2 km. Su scala globale, il metodo migliore per la localizzazione dei punti sulla superficie della Terra è comunque quello di latitudine, longitudine e altitudine. La latitudine è l'angolo nord o sud formato dal raggio vettore che collega l'origine del sistema di coordinate (il centro della Terra) al punto da localizzare rispetto al piano di riferimento (il piano dell'equatore). La longitudine è l'angolo est o ovest rispetto a un meridiano di riferimento (il meridiano di Greenwich).

5.

Trasformazione di coordinate

Le coordinate di un punto o di un insieme di punti possono essere espresse in funzione delle coordinate di un altro sistema, utilizzando particolari relazioni che prendono il nome di relazioni di trasformazione. Ad esempio, se l'asse e il polo di un sistema di coordinate polari coincidono rispettivamente con l'asse x e con l'origine di un sistema di riferimento cartesiano nel piano, allora il punto di coordinate polari (1, ) dista esattamente un'unità dall'origine e si trova sull'asse y, cioè ha coordinate cartesiane (0, 1). Analogamente, il punto di coordinate polari (Ã, ) corrisponde, nel piano cartesiano, al punto di coordinate (-1, 1).

Le coordinate polari sono particolarmente utili per rappresentare funzioni che sono definite in rapporto alla loro distanza da un punto fisso. Ad esempio, l'equazione di una circonferenza di raggio d è data in coordinate cartesiane dall'equazione x² + y² = d²; in coordinate polari essa è semplicemente r = d.

Vedi anche Geometria analitica.