1.

Introduzione

Dimostrazione matematica Argomentazione utilizzata per provare la verità di un’asserzione matematica. Partendo da una o più affermazioni vere, dette ipotesi, la dimostrazione procede attraverso una successione di deduzioni logiche, ottenute sulla base di assiomi o di enunciati precedentemente dimostrati, fino a pervenire alla conclusione, detta tesi. Il primo a introdurre la nozione di dimostrazione in logica fu Aristotele, che la concepì come strumento capace di produrre conoscenza. In matematica, le principali strategie dimostrative adottate nei problemi geometrici e algebrici sono state messe a punto da Euclide negli Elementi, intorno al 300 a.C.

2.

Tipi di dimostrazione matematica

Dato un enunciato del tipo “se p, allora q”, dove p rappresenta l’ipotesi e q la tesi, esistono diversi tipi di procedimenti dimostrativi che permettono di provare la verità di q; alcuni dei più noti sono la dimostrazione per assurdo, quella per ricorrenza e quella per contrapposizione.

1.

Dimostrazione per assurdo

Questo tipo di procedimento consiste nel provare la verità della tesi mostrando che la sua negazione porta necessariamente a una contraddizione. In altre parole, assumendo come vere l’ipotesi “p” e la negazione della tesi “non q”, si perviene a un risultato assurdo. Questo basta per affermare che è vera la tesi: non potendo essere vera “non q”, è vera “q”.

La dimostrazione per assurdo può essere applicata, ad esempio, per provare che la successione (u_n) costituita da tutti i numeri primi – 1, 2, 3, 5, 7, 11, ... ecc. – non è una progressione aritmetica. Si parte supponendo per assurdo che lo sia, e che quindi per essa valga la relazione u_n+1 = u_n + r, dove r rappresenta la ragione della successione. Applicando la relazione ai primi due elementi della successione, 1 e 2, si ottiene il valore della ragione r: r = u₂ - u₁ = 2 - 1 = 1; ma allora, risulta che u₄ = u₃ + r = 3 + 1 = 4, che non è un numero primo. Si è giunti così a una contraddizione, che basta ad affermare la falsità dell’ipotesi di partenza (cioè la negazione della tesi) e la verità dell’enunciato.

2.

Dimostrazione per ricorrenza

Si adotta per dimostrare la verità di enunciati che dipendano in qualche modo da un indice naturale n, vale a dire, per provare che una proposizione che dipende da n è vera per tutti i valori di n. Il procedimento consiste nel verificare che la proposizione è vera per n = 0 e che, se è vera per n, è vera anche per n+1.

Si consideri ad esempio la progressione aritmetica (u_n) che abbia come primo termine u₀ e come ragione r. La relazione ricorsiva che definisce la successione è u_n+1 = u_n + r per tutti gli n. Si vuole dimostrare per ricorrenza che la relazione u_n = u₀ + nr è vera per tutti gli interi n. In primo luogo si verifica che è vera per n = 0: u₀ = u₀ + 0·r. Si procede quindi con il supporre che la relazione u_n = u₀ + nr valga per un intero qualunque n, e la si sfrutta per dimostrare il caso n+1. Come segue dalla definizione, u_n+1 = u_n + r, e quindi si può scrivere u_n+1 = u_n + r = u₀ + nr + r = u₀ + (n + 1)r. Dunque la relazione è vera anche per n + 1. Il risultato, in questo modo, risulta dimostrato per qualunque numero intero positivo n.

3.

Dimostrazione per contrapposizione

Questo tipo di dimostrazione si presta ad alcuni casi specifici, in cui, anziché l’enunciato “se p allora q”, risulta più semplice dimostrare l’enunciato “se (non p), allora (non q)”. Secondo i principi della logica proposizionale, infatti, i due enunciati sono del tutto equivalenti.

4.

Altri tipi di dimostrazione

Naturalmente, i tipi di dimostrazione descritti non esauriscono tutti quelli possibili ed effettivamente applicati nella storia della matematica. Ne esistono invece innumerevoli, di gran lunga più complessi, che combinano in modo vario verità assiomatiche, enunciati già dimostrati, metodi classici e soluzioni innovative.

Una questione centrale dell’odierna epistemologia consiste nel determinare se sia lecito o meno considerare dimostrato un enunciato di cui siano state raccolte numerosissime prove e di cui non si conosca alcun controesempio. Un esempio di questo problema è dato da un celebre teorema della moderna topologia, secondo cui bastano quattro colori per realizzare una carta geografica senza che due regioni adiacenti risultino rappresentate nella stessa tinta. La “dimostrazione”, fornita nel 1976 da Kenneth Appel e Wolfgang Haken, non è consistita nella deduzione logica della tesi, ma nella verifica di tutti i casi possibili con l’aiuto di un computer.