2.

La funzione di Gauss

La curva gaussiana corrisponde a una funzione matematica di tipo esponenziale, nota come funzione di Gauss, la cui forma è

dove x è la variabile casuale, σ è la deviazione standard, m è il valore medio intorno al quale si distribuiscono i dati, e è il fattore di normalizzazione necessario per ottenere dalla funzione esponenziale una distribuzione di probabilità, tale che l’integrale della funzione da -∞ a +∞ sia pari a 1. La deviazione standard è il parametro che esprime la dispersione dei dati rispetto al valore medio, determinando la forma tipica della curva: se il valore di σ è piccolo, la curva di Gauss ha una forma alta e stretta (i valori misurati della variabile x si discostano poco dal valore medio); se invece σ è grande, la curva di Gauss risulta bassa e larga (i dati si discostano di molto dal valore medio, o perché le misurazioni effettuate sono affette da grossi errori casuali, o perché la natura stessa della variabile comporta grandi fluttuazioni del suo valore).

Nella distribuzione di Gauss il valore medio coincide con il valore più probabile, vale a dire con il punto di massimo della curva; inoltre, come in tutte le funzioni di distribuzione, il valore dell’integrale della funzione di Gauss, su un determinato intervallo di valori, rappresenta la probabilità che il risultato della misura della variabile cada entro l’intervallo considerato.

La curva di Gauss fu scoperta per la prima volta da Abraham De Moivre nel 1753, durante i suoi studi sui giochi d'azzardo, come caso limite della distribuzione binomiale all'aumentare del numero di prove. Successivamente fu ricavata nuovamente da Carl Friedrich Gauss come risultato della distribuzione degli errori di un processo di misurazione.